民國114年 普通考試 經建行政 統計學概要
第3題
高速公路新竹站巡警想知道貨車平均行駛速度是否過高。隨機抽取 81（n=81）輛貨車測其車速，其平均速度為105 公里/每小時且標準 差為6 公里/每小時。假設母…
題目
高速公路新竹站巡警想知道貨車平均行駛速度是否過高。隨機抽取 81（n=81）輛貨車測其車速，其平均速度為105 公里/每小時且標準 差為6 公里/每小時。假設母體為常態分配。 請問貨車平均速度是否超過100 公里/小時。顯著水準0.05。 寫出虛無假設H0 和對立假設H1。（5 分） 寫出檢定統計量在H0為真下的分配，並說明何以為此分配。（5 分） 分別計算統計量值和p 值，並說明檢定結果。（5 分） 續 母體平均值未知時，其最佳估計量為何？若欲使此估計量估計母 體平均值的誤差最大是0.5 公里/小時的機率至少為0.9，請問樣 本大小應該多少？（5 分） 續上題，若機率更改為至少0.95，請問樣本大小應該多少？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設設定：設 μ 為該站貨車母體平均車速。H0：μ≤100（平均速度未超過 100 公里/小時）；H1：μ>100（平均速度超過 100 公里/小時），屬右尾檢定，α=0.05。已知 n=81、X̄=105、S=6，母體為常態分配。
- 二、檢定統計量及其分配：採 Z=(X̄−μ0)/(S/√n)。因母體為常態，X̄ 本身服從 N(μ, σ²/n)；當 n=81 屬大樣本，以 S 替代 σ 的誤差可忽略（嚴格言之為 t(80)，其臨界值與 z 幾乎相同）。在 H0 為真（取 μ=100）下，檢定統計量近似服從標準常態分配 N(0,1)，此即常態母體與中央極限定理之結果。
- 三、統計量值、p 值與結論：Z=(105−100)/(6/9)=5/0.6667=7.5。p 值=P(Z>7.5)≈0.000，遠小於 0.05；以臨界值法，z0.05=1.645，因 7.5>1.645，故拒絕 H0，認定貨車平均速度顯著超過 100 公里/小時。
- 四、最佳估計量與樣本大小（誤差 0.5、機率至少 0.9）：μ 的最佳估計量為樣本平均數 X̄（不偏且變異數最小）。令 P(|X̄−μ|≤0.5)≥0.9，即 z0.05×σ/√n≤0.5，n≥(1.645×6/0.5)²=(19.74)²=389.7，無條件進位取 n=390。此處以樣本標準差 6 作為 σ 的估計值。
- 五、機率改為至少 0.95：改用 z0.025=1.96，n≥(1.96×6/0.5)²=(23.52)²=553.2，取 n=554。可見信心水準提高或容許誤差縮小，均須增加樣本數；實務上若 σ 未知，宜先以 pilot study 估計或採保守值，以免樣本不足。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。