民國115年 普通考試 經建行政 統計學概要
第2題
三顆六面骰子中，其中有一顆為作弊骰子，其他為公正骰子。已知作弊 骰子得1 或2 點的機率各為0.3，其他點數之機率各為0.1。 隨機選一骰子擲，得2 點，求其為…
題目
三顆六面骰子中，其中有一顆為作弊骰子，其他為公正骰子。已知作弊 骰子得1 或2 點的機率各為0.3，其他點數之機率各為0.1。 隨機選一骰子擲，得2 點，求其為作弊骰子之機率。（10 分） 莊家和玩家對賭，各擲一次骰子，點數大者要付點數小者100 元；平 手不用付。玩家只能隨機在三顆中選一顆骰子擲，但莊家總是選作弊 骰子。請問莊家獲利的期望值。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設B為抽到作弊骰子、X為擲出2點。P(B)=1/3、P(B^c)=2/3，P(X|B)=0.3，P(X|B^c)=1/6。由貝氏定理P(B|X)=P(B)P(X|B)／[P(B)P(X|B)＋P(B^c)P(X|B^c)]。
- 二、代入得P(B|X)=(1/3×0.3)／[(1/3×0.3)＋(2/3×1/6)]＝0.1／0.2111＝9/19≈0.4737；即擲出2點時，該骰為作弊骰的機率約47.37%。
- 三、題意為「點數大者付點數小者100元」，故莊家點數較小時收取100元、較大時支付100元，平手0。莊家固定用作弊骰；玩家有1/3機率用同一作弊骰，此時對稱，P(玩家＞莊家)=P(玩家＜莊家)=(1－0.22)/2=0.39，平手0.22。
- 四、玩家用公正骰時，P(玩家＞莊家)=0.3×5/6＋0.3×4/6＋0.1×(3/6＋2/6＋1/6)=0.55；混合後P(玩家＞莊家)=1/3×0.39＋2/3×0.55=0.4967。
- 五、平手機率=1/3×0.22＋2/3×1/6=0.1844，故P(玩家＜莊家)=1－0.4967－0.1844=0.3189；期望報酬=100(0.4967－0.3189)=17.78元（160/9元），莊家平均獲利約17.78元。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。