首頁 / 普通考試 經建行政考古題 / 民國115年 普通考試 經建行政 統計學概要 民國115年 普通考試 經建行政 統計學概要考古題
民國115年 普通考試 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
將某地區分為北中南三區，其戶數分別為5000 戶、2000 戶及3000 戶。
各區統計其「每戶之平均人口數」，分別為4 人，5 人，6 人；而標準差
分別為2 人，1 人，2 人。計算該地區整體之每戶平均人數及變異量。
（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、依加權平均數公式，整體每戶平均人數為 μ＝ΣN_iμ_i／ΣN_i。代入（5000×4＋2000×5＋3000×6）／10000＝48000／10000＝4.8人；此即以戶數為權數的加權平均，而非三區平均數的簡單平均5人。 二、整體變異數須同時考慮「組內變異」與「組間變異」。組內平方和為ΣN_iσ_i²＝5000×2²＋2000×1²＋3000×2²＝34000；組間平方和為ΣN_i(μ_i－μ)²＝5000(－0.8)²＋2000(0.2)²＋3000(1.2)²＝7600。 三、總平方和為34000＋7600＝41600，故整體母體變異數σ²＝41600／10000＝4.16（人²），標準差約2.04人。若題目所稱「變異量」指總變異量，則可同時答總平方和41600。 四、若各區標準差是樣本標準差，精確合併宜用Σ(N_i－1)s_i²計算組內平方和，再除以N－1；本例得約4.160，與4.16幾乎相同。解題時應註明採母體或樣本公式，避免混淆。 五、結果顯示整體平均4.8人，變異數4.16；組間變異占總變異約18.3%（7600/41600），其餘為組內變異。此分解有助判讀三區差異來源，也說明僅比較各區平均數會忽略戶數權數與區內離散程度。
三顆六面骰子中，其中有一顆為作弊骰子，其他為公正骰子。已知作弊
骰子得1 或2 點的機率各為0.3，其他點數之機率各為0.1。
隨機選一骰子擲，得2 點，求其為作弊骰子之機率。（10 分）
莊家和玩家對賭，各擲一次骰子，點數大者要付點數小者100 元；平
手不用付。玩家只能隨機在三顆中選一顆骰子擲，但莊家總是選作弊
骰子。請問莊家獲利的期望值。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設B為抽到作弊骰子、X為擲出2點。P(B)=1/3、P(B^c)=2/3，P(X|B)=0.3，P(X|B^c)=1/6。由貝氏定理P(B|X)=P(B)P(X|B)／[P(B)P(X|B)＋P(B^c)P(X|B^c)]。 二、代入得P(B|X)=(1/3×0.3)／[(1/3×0.3)＋(2/3×1/6)]＝0.1／0.2111＝9/19≈0.4737；即擲出2點時，該骰為作弊骰的機率約47.37%。 三、題意為「點數大者付點數小者100元」，故莊家點數較小時收取100元、較大時支付100元，平手0。莊家固定用作弊骰；玩家有1/3機率用同一作弊骰，此時對稱，P(玩家＞莊家)=P(玩家＜莊家)=(1－0.22)/2=0.39，平手0.22。 四、玩家用公正骰時，P(玩家＞莊家)=0.3×5/6＋0.3×4/6＋0.1×(3/6＋2/6＋1/6)=0.55；混合後P(玩家＞莊家)=1/3×0.39＋2/3×0.55=0.4967。 五、平手機率=1/3×0.22＋2/3×1/6=0.1844，故P(玩家＜莊家)=1－0.4967－0.1844=0.3189；期望報酬=100(0.4967－0.3189)=17.78元（160/9元），莊家平均獲利約17.78元。
某縣市政府為比較兩種公共服務改善方案的效果，隨機抽取接受「方案
一」與「方案二」的民眾各50 人。服務結束後，由研究團隊依據民眾回
饋結果，將其整體評價分為五個等級：
A：非常滿意、B：滿意、C：普通、D：不滿意、E：非常不滿意
資料如下：
組別
A
B
C
D
E
合計
方案一
方案二
請檢定兩種方案下，民眾評價等級的分布是否相同。（請參考附表卡方分
配）（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、此題為兩個獨立樣本在五個類別上的分布比較，採卡方同質性檢定。H0：方案一與方案二的評價分布相同（p_1j=p_2j，j=A,…,E）；H1：至少有一等級的機率不同。 二、檢定統計量χ²=Σ_iΣ_j(O_ij－E_ij)²／E_ij，其中E_ij=R_iC_j／n；本題R_1=R_2=50、n=100，故E_1j=E_2j=C_j／2。自由度df=(2－1)(5－1)=4。 三、決策規則：在α=0.05下，χ²_0.95(4)=9.488；若計算值大於9.488則拒絕H0，否則不拒絕。並應檢查期望次數是否均≥5；若有過小期望次數，宜合併相鄰等級或改用精確檢定。 四、題目表格僅列組別與A至E欄名，各格觀察次數均空白，僅知每組n=50、總n=100。因此無法代入O_ij，也無法算出χ²值與p值；題目資料缺漏，無法得出唯一數值，不能捏造結論。 五、若補齊資料且檢定顯著，可進一步查看標準化殘差(O－E)/√E，找出貢獻最大的等級，並以效果量輔助說明差異大小；但不可把「分布不同」直接解讀為方案一較優，因卡方檢定未利用等級順序，也未指明方向。
選舉前想瞭解某次電視辯論是否影響支持傾向，研究單位進行以下民
調：
電視辯論前隨機選100 位選民，訪談發現他們在電視辯論前有70 人
支持A 黨，30 人支持B 黨；而辯論後也隨機選100 位選民，這100
位則有60 人支持A 黨，40 人支持B 黨（如下表）。在顯著水準0.05
下以雙尾方式檢定。（15 分）
H0：電視辯論不影響支持傾向
vs.
H1：電視辯論影響支持傾向
已知߯.ଽହ
ଶ
(݂݀= 1) =3.841
辯論前
辯論後
和
支持A
支持B
和
隨機選100 位選民，訪談發現他們在電視辯論前有70 人支持A 黨，
30 人支持B 黨；而辯論後這100 位則有60 人支持A 黨，40 人支持B
黨（如下表）。在顯著水準0.05 下以雙尾方式檢定。（15 分）
H0：電視辯論不影響支持傾向
vs.
H1：電視辯論影響支持傾向
辯論後支持A
辯論後支持B
和
辯論前支持A
辯論前支持B
和
附表
卡方分配
α
自由度
參考解答（AI 生成，非官方） 一、依題意，辯論前後各隨機抽取100人，屬兩個獨立樣本的比例比較；虛無假設為兩時點支持A黨的母體比例相同，對立假設為不同。設定p_1、p_2分別為辯論前、後支持A的機率，H0：p_1=p_2，H1：p_1≠p_2。 二、樣本比例為p̂_1=70/100=0.70、p̂_2=60/100=0.60，合併比例p̂=(70＋60)/(100＋100)=0.65。雙尾z檢定統計量z=(p̂_1－p̂_2)／√[p̂(1－p̂)(1/n_1＋1/n_2)]。 三、代入得z=0.10／√[0.65×0.35×(1/100＋1/100)]=0.10／0.06745=1.482，z²=2.198。卡方檢定與雙尾z檢定等價，χ²=2.198，df=1；亦可由2×2列聯表期望次數65、35、65、35算得相同值。 四、α=0.05、df=1的臨界值為3.841。因2.198＜3.841，不拒絕H0；p值約0.138，亦大於0.05。故在5%顯著水準下，沒有足夠證據顯示電視辯論前後支持A黨的比例有差異。 五、此結論僅表示資料不足以證明有影響，不能宣稱辯論「完全無效」；且題目為獨立樣本，若實際是同一批人前後配對，應改算配對四格並用McNemar檢定，需另知b、c兩格人數。另可報告比例差0.10的95%信賴區間約(－0.032, 0.232)，包含0。