民國115年 普通考試 電信工程 通信系統概要
第3題
回答下列FM 小角度近似問題： 若 ) ( ) ( ( ) c c s t A f os t c t 且| ( ) | t 很小，利用 cos ，sin ，寫…
題目
回答下列FM 小角度近似問題： 若 ) ( ) ( ( ) c c s t A f os t c t 且| ( ) | t 很小，利用 cos ，sin ，寫 出小角度FM 近似式。（10 分） 近似式中與訊息相關的是那一項？（8 分） 此近似可視為何種調變結構？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、FM 訊號模型：s(t)=A_c cos[2πf_c t+φ(t)]，其中 φ(t)=2πk_f∫m(τ)dτ 為瞬時相位偏移，瞬時頻率 f_i(t)=f_c+k_f m(t)，k_f 為頻率靈敏度（Hz/V）。小角度近似（small-angle approximation）成立條件為 |φ(t)|≪1 rad，一般取小於 0.3 rad，即窄頻（narrowband）情況。
- 二、近似式推導：利用 cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB，並令 cosφ≈1、sinφ≈φ，得 s(t)≈A_c[cos(2πf_c t)−φ(t)sin(2πf_c t)]，即 s(t)≈A_c cos(2πf_c t)−A_c φ(t)sin(2πf_c t)。此即小角度 FM 近似式，誤差為 φ 的二階以上項。
- 三、與訊息相關的項：第二項 −A_c φ(t)sin(2πf_c t) 含 φ(t)，而 φ(t) 為訊息 m(t) 的積分，故為乘積（振幅調變）形式，承載訊息；第一項 A_c cos(2πf_c t) 為純載波，不含訊息。故與訊息相關者為「正交（quadrature）載波上的振幅調變分量」。
- 四、調變結構判定：此式可視為「載波加上正交載波之 DSB-SC」，即窄頻 FM（NBFM）。與 AM 的差別在於邊帶相位相差 90°（正交），故無法用包絡檢波（envelope detector）解調，須用同步解調或鑑頻器。頻寬約 2f_m，與 AM 相同；由相量圖（phasor）觀之，載波向量加一垂直小向量，合成振幅近似不變、相位隨訊息擺動。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。