民國115年 普通考試 機械工程 機械力學概要
第2題
一鋁芯與鋼殼緊密熔接在一起之複合圓柱，尺寸如下圖所示。圓柱兩端 覆以剛性板並施加一200 kN 軸向壓力，試求圓柱的軸向變形，以及鋼殼 與鋁芯中的應力。（25…
題目
一鋁芯與鋼殼緊密熔接在一起之複合圓柱，尺寸如下圖所示。圓柱兩端 覆以剛性板並施加一200 kN 軸向壓力，試求圓柱的軸向變形，以及鋼殼 與鋁芯中的應力。（25 分） 70 mm 400 mm 鋁芯 E=70 GPa 鋼外殼 E=200 GPa 80 mm
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、鋁芯直徑 d_a=70 mm、鋼殼外徑 d_s=80 mm、長度 L=400 mm。鋁芯截面積 A_a=πd_a²/4=π×70²/4=3848.45 mm²；鋼殼截面積 A_s=π(d_s²−d_a²)/4=π(80²−70²)/4=1178.10 mm²。兩者緊密熔接且兩端為剛性板，假設無滑移、斷面保持平面。
- 二、變形相容條件為鋁芯與鋼殼軸向應變相等，ε_a=ε_s=ε=δ/L；材料本構關係為 σ_a=E_aε、σ_s=E_sε，其中 E_a=70 GPa、E_s=200 GPa。軸向壓力 P=200 kN 由兩材料共同承擔，故 P=σ_aA_a+σ_sA_s=ε(E_aA_a+E_sA_s)。
- 三、計算等效軸向剛度：E_aA_a=70,000×3848.45=2.694×10⁸ N，E_sA_s=200,000×1178.10=2.356×10⁸ N，合計 EA=5.050×10⁸ N。ε=P/(EA)=200,000/(5.050×10⁸)=3.960×10⁻⁴，軸向變形 δ=εL=3.960×10⁻⁴×400=0.158 mm（縮短）。
- 四、應力為 σ_a=E_aε=70,000×3.960×10⁻⁴=27.7 MPa（壓應力），σ_s=E_sε=200,000×3.960×10⁻⁴=79.2 MPa（壓應力）。軸力分配為 P_a=σ_aA_a=106.7 kN、P_s=σ_sA_s=93.3 kN，合計 200 kN，與外載重相符。
- 五、檢核與限制：上述結果建立在彈性、材料均質、兩端剛性板均勻加壓及無握裹滑移之假設；若考慮端部效應、挫屈或材料非線性，數值會改變。因鋼殼彈性模數較高，相同應變下鋼殼應力約為鋁芯之 2.86 倍，設計時應注意鋼殼降伏與鋁芯界面剪應力。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。