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民國115年 普通考試 機械工程 機械力學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
4 個力大小均為10 N，施加在一邊長為1 m 之正方形板上如下圖，試求
此力系之合力，並就物體平衡的充分條件，檢驗正方形板是否處於平衡
狀態。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、建立直角座標系，將正方形板左下角設為原點 O，x 軸向右、y 軸向上；每一力以向量 F_i=(F_ix,F_iy) 表示，作用點為 r_i=(x_i,y_i)。合力 R=ΣF_i，對 O 點之力矩 M_O=Σ(x_iF_iy−y_iF_ix)。因題附圖未轉錄，四力作用點與方向不明，無法代入求得唯一數值。 二、合力計算先求分量 R_x=ΣF_ix、R_y=ΣF_iy，大小 R=√(R_x²+R_y²)，方向 θ=tan⁻¹(R_y/R_x)，並依象限修正；若 R=0 則合力為零。四力均為 10 N，僅能確定各力大小，不能僅憑大小判定合力，仍須依圖示方向逐力分解。 三、力矩計算後可將力系等效為「通過 O 之合力 R 加上力偶 M_O」。若 R≠0，可將作用線平移 d=|M_O|/R 使力矩為零；若 R=0 而 M_O≠0，則為純力偶（couple），物體仍有轉動趨勢。四力若形成同向力偶，即使合力為零也不平衡。 四、二維剛體平衡之充分且必要條件為 ΣF_x=0、ΣF_y=0、ΣM_O=0，亦即合力與合力矩同時為零；三維問題則需 ΣF=0 與 ΣM=0 共六式。只滿足合力為零而力矩不為零，或只滿足力矩為零而合力不為零，均不能稱為平衡。 五、判定時先算 R 與 M_O：若兩者皆為零，正方形板處於平衡；若 R=0、M_O≠0，為純力偶不平衡；若 R≠0，無論 M_O 是否為零均不平衡。由於本題圖形資料缺漏，無法得出唯一合力數值，考生須依原圖之作用點與方向代入上述判定規則。
一鋁芯與鋼殼緊密熔接在一起之複合圓柱，尺寸如下圖所示。圓柱兩端
覆以剛性板並施加一200 kN 軸向壓力，試求圓柱的軸向變形，以及鋼殼
與鋁芯中的應力。（25 分）
70 mm
400 mm
鋁芯
E=70 GPa
鋼外殼
E=200 GPa
80 mm
參考解答（AI 生成，非官方） 一、鋁芯直徑 d_a=70 mm、鋼殼外徑 d_s=80 mm、長度 L=400 mm。鋁芯截面積 A_a=πd_a²/4=π×70²/4=3848.45 mm²；鋼殼截面積 A_s=π(d_s²−d_a²)/4=π(80²−70²)/4=1178.10 mm²。兩者緊密熔接且兩端為剛性板，假設無滑移、斷面保持平面。 二、變形相容條件為鋁芯與鋼殼軸向應變相等，ε_a=ε_s=ε=δ/L；材料本構關係為 σ_a=E_aε、σ_s=E_sε，其中 E_a=70 GPa、E_s=200 GPa。軸向壓力 P=200 kN 由兩材料共同承擔，故 P=σ_aA_a+σ_sA_s=ε(E_aA_a+E_sA_s)。 三、計算等效軸向剛度：E_aA_a=70,000×3848.45=2.694×10⁸ N，E_sA_s=200,000×1178.10=2.356×10⁸ N，合計 EA=5.050×10⁸ N。ε=P/(EA)=200,000/(5.050×10⁸)=3.960×10⁻⁴，軸向變形 δ=εL=3.960×10⁻⁴×400=0.158 mm（縮短）。 四、應力為 σ_a=E_aε=70,000×3.960×10⁻⁴=27.7 MPa（壓應力），σ_s=E_sε=200,000×3.960×10⁻⁴=79.2 MPa（壓應力）。軸力分配為 P_a=σ_aA_a=106.7 kN、P_s=σ_sA_s=93.3 kN，合計 200 kN，與外載重相符。 五、檢核與限制：上述結果建立在彈性、材料均質、兩端剛性板均勻加壓及無握裹滑移之假設；若考慮端部效應、挫屈或材料非線性，數值會改變。因鋼殼彈性模數較高，相同應變下鋼殼應力約為鋁芯之 2.86 倍，設計時應注意鋼殼降伏與鋁芯界面剪應力。
一作直線運動之質點，離開原點O 的距離x 公尺(m)與時間t 秒(s)的關
係為
x
t
t
t
t
，試求當其加速度為零時之時間、離原
點距離及當時速率。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、質點作直線運動時，位置函數 x(t) 對時間之一階導數為速度 v=dx/dt，二階導數為加速度 a=dv/dt=d²x/dt²。題目要求加速度為零之時點，即解 a(t)=0，再代回 x(t) 求離原點距離，並以速率 |v(t)| 表示當時快慢。 二、惟題幹多項式在轉錄中僅留下 t 符號，各項係數與指數缺漏，無法確定 x(t) 之完整形式，故不能算出唯一時間、距離與速率。依規則應先還原原卷方程式；在資料不足下，僅能列出公式與計算步驟，不能任意假設係數。 三、解題步驟如下：先對 x(t) 微分得 v(t)，再微分得 a(t)；令 a(t)=0 解出所有實根，刪除 t<0 之根；將合格時間代入 x(t) 得位置，代入 v(t) 後取絕對值得速率。若 a(t)=0 有重根，仍需檢查該時刻速度方向是否改變。 四、判定規則：若 a(t) 為一次式，通常僅一個零根；若為二次式，可能有兩個零根，須全數列出並以物理時間 t≥0 篩選。加速度為零不代表速度為零，也不一定是折返點；速率為純量，方向應另以 v 之正負號說明。 五、因原題方程式缺漏，本題資料不足，無法得出唯一數值；考生作答時應明確寫出 x(t)、v(t)、a(t) 之關係，並將原卷完整多項式代入。若只寫答案而未列微分與篩選過程，將無法呈現加速度為零條件之運用。
下圖為一以插銷連接叉形接頭與板件之鋼組件，插銷的直徑為15 mm。
所有鋼材的拉伸強度為510 MPa，剪強度為255 MPa。含圓孔鋼板的應
力集中因子為3。試求插銷之剪應力及板件淨截面之最大應力，並判斷
如組件受力持續增加，那個元件會先破壞？（25 分）
（請假設孔洞與各平板邊緣距離足夠遠，板件端部的剪出破壞可忽略）
O
x
插銷
叉形接頭
板件
50 kN
50 mm
6 mm
6 mm
6 mm
6 mm
50 kN
參考解答（AI 生成，非官方） 一、插銷直徑 d=15 mm，截面積 A_p=πd²/4=π×15²/4=176.71 mm²。叉形接頭（clevis）與板件以插銷連接，通常插銷承受雙剪（double shear），即兩個剪切面共同承受 50 kN；若實際構造為單剪，則結果不同，須先確認。 二、雙剪時插銷平均剪應力 τ_p=P/(2A_p)=50,000/(2×176.71)=141.5 MPa。鋼材剪強度 255 MPa，故 τ_p<255 MPa，插銷安全係數約 255/141.5=1.80；若誤用單剪，τ=283.0 MPa>255 MPa，插銷會先破壞，顯示雙剪假設之重要性。 三、板件淨截面寬度為 50−15=35 mm，厚度 6 mm，淨截面積 A_net=35×6=210 mm²。淨截面名目應力 σ_nom=P/A_net=50,000/210=238.1 MPa；題給含圓孔鋼板應力集中因子 K_t=3，最大應力 σ_max=K_tσ_nom=3×238.1=714.3 MPa。 四、破壞判斷：板件最大應力 714.3 MPa 已超過鋼材拉伸強度 510 MPa，而插銷剪應力 141.5 MPa 尚低於剪強度 255 MPa。依題給強度與應力集中因子，板件淨截面會先達到極限，故板件先破壞，插銷次之。 五、上述判斷假設孔洞與板邊距離足夠遠、端部剪出破壞可忽略，且以名目淨截面應力乘 K_t 作為最大應力；若材料具延性而容許局部降伏重分配，或改以淨截面平均應力比較，結論可能不同。惟依題目指定之拉伸強度與 K_t，板件淨截面為最先破壞元件。