首頁 / 地方三等 機械工程考古題 / 民國112年 地方三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 民國112年 地方三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題
民國112年 地方三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
質量50 公斤的方塊和斜面之間的靜摩擦係數
s
（）和動摩擦係數
k
（）分
別為0.40 和0.20。如圖所示，請計算兩子題： 在對靜止方塊施加200
牛頓（N）的（P）時作用在方塊上的摩擦力（N）？（10 分） 從靜止
開始使方塊上升所需的力（N）？（10 分）重力加速度
9.81 m/sec
g
。
如圖所示，質量為
m 的人和質量為
m 的人站於質量為
m 的平臺上，該平
臺長度為W，移動時摩擦力可忽略不計，平臺最初處於靜止狀態（即
D
）且兩人位於平臺的兩端點。當兩人開始向彼此靠近時，請依據質
量為
m 的人相對於平臺的位移
1x
（），推導出兩人相遇時平臺的位移（D）
之表達式？（以
,
,
,
,W
m m m x
表示）。（20 分）
D
W
A
m1
m2
x1
x2
15º
50 kg
μs=0.4
μk=0.2
P
參考解答（AI 生成，非官方） 一、先求基本受力：方塊重 W＝mg＝50×9.81＝490.5 N；斜面傾角 15°，沿斜面向下之重量分量 W sin15°＝126.9 N，法向力 N＝W cos15°＝473.9 N。最大靜摩擦 f_s,max＝μsN＝0.40×473.9＝189.6 N，動摩擦 f_k＝μkN＝0.20×473.9＝94.8 N。以下依圖示，假設 P 沿斜面向上。 二、子題一（P＝200 N）：淨驅動力為 200－126.9＝73.1 N，小於 f_s,max＝189.6 N，方塊不會滑動，故摩擦力屬靜摩擦，大小等於 73.1 N、方向沿斜面向下（與 P 反向），不可直接取 μsN。若 P 改沿斜面向下，驅動力達 326.9 N 超過極限，方塊下滑，摩擦力改為動摩擦 94.8 N、方向沿斜面向上。 三、子題二（起動上升）：臨界狀況下，P 須同時克服重量分量與最大靜摩擦，P＝W sin15°＋f_s,max＝126.9＋189.6＝316.5 N，約 317 N；起動後若維持等速上升，則 P＝126.9＋94.8＝221.7 N，可見起動所需之力大於維持運動所需之力。 四、子題三先建立座標與變數：取向右為正，m1 相對平臺向右移 x1、m2 相對平臺向左移 x2，平臺位移為 d。三者之絕對位移分別為 x1＋d、－x2＋d、d。水平方向無外力，質心位置不變，故 m1(x1＋d)＋m2(－x2＋d)＋m_D d＝0，且兩人相遇時 x1＋x2＝W。 五、整理上式得 d＝(m2x2－m1x1)/(m1＋m2＋m_D)，代入 x2＝W－x1 得 d＝[m2W－(m1＋m2)x1]/(m1＋m2＋m_D)。d 為正表示平臺朝 m1 相對運動方向移動。檢核：m1＝m2 且 x1＝W/2 時 d＝0，符合對稱；m1 愈重、x1 愈大，d 愈負，即平臺向後退，合乎動量守恆。
如圖所示，三隻猴子A、B 和C 的質量分別為30 kg、35 kg 和25 kg，正
從D 點懸掛的繩子上下攀爬，忽略繩子質量。在某一時刻，猴子A 正以
10 m/sec 的加速度向下爬，猴子C 正以
6 m/sec 的加速度向上爬，猴子
B 以等速度2 m/sec向上攀爬。將繩子和猴子視為一個完整的系統，請計
算D 點繩子的張力？重力加速度
9.81 m/sec
g
。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、取繩與三隻猴子為一系統，繩之外力僅有 D 點張力 T 與各重力，猴子與繩間之摩擦力屬內力，互相抵消。由質心運動定理：ΣF_y＝T－(mA＋mB＋mC)g＝Σmi·aiy（向上為正），故只須求各猴之鉛直加速度，此即「系統法」優於個別自由體圖之處。 二、加速度判定：A 向下爬 10 m/s²，aA＝－10；C 向上爬 6 m/s²，aC＝＋6；B 等速上升 2 m/s，速度為常數，aB＝0（等速並非靜止，但加速度為零）。故 Σmi·aiy＝30×(－10)＋35×0＋25×(+6)＝－300＋150＝－150 N。 三、總重 W＝(30＋35＋25)×9.81＝90×9.81＝882.9 N。代入得 T＝882.9＋(－150)＝732.9 N，約 733 N。物理意義為：猴子加速下爬使整體產生向下加速度，形成「失重」效果，故張力小於總重；若三者皆靜止，張力將等於 882.9 N。 四、討論：繩質量忽略，故整條繩各處張力相同，D 點張力即繩之張力；本題只須求合力，不必解各猴與繩間之握力。若改以個別自由體圖，須計入猴與繩之接觸力，較繁複但結果一致。答題時應明確標示正方向與各加速度符號，避免正負號顛倒。
一個剛性管（Rigid pipe）由鋼索BD 支撐與A 點插銷（Pin）索固定，鋼
索的直徑為1 cm，請計算當端點C 向下移動1.5 cm 時，負載P 之值？（已
知鋼的彈性模量為
200 GPa
ST
E
）。（20 分）
C
P
B
D
A
4 m
3 m
3 m
B
A
D
C
參考解答（AI 生成，非官方） 一、幾何與靜定關係：依圖 A 為插銷、AB＝3 m、BC＝3 m，D 在 A 正上方 4 m，故鋼索 BD 長 L＝√(3²＋4²)＝5 m。對 A 取力矩：P×6＝T×(A 至 BD 之垂直距離，即 3×4/5＝2.4 m)，得 T＝2.5P。 二、變形協調：剛性管繞 A 作小角度轉動 θ，C 點下沉 1.5 cm＝0.015 m，故 θ＝0.015/6＝0.0025 rad；B 點下沉 3θ，其沿 BD 方向（單位向量 (−0.6, 0.8)）之分量為 3θ×0.8＝2.4θ＝0.006 m，即鋼索伸長量 δ＝6 mm。 三、材料關係：鋼索斷面積 A＝πd²/4＝π(0.01)²/4＝7.854×10⁻⁵ m²，EA＝7.854×10⁻⁵×2×10¹¹＝1.571×10⁷ N。由 δ＝TL/(EA) 得 T＝δEA/L＝0.006×1.571×10⁷/5＝1.885×10⁴ N＝18.85 kN。 四、代回得 P＝T/2.5＝18.85/2.5＝7.54 kN。此結果建立於線彈性、小變形、鋼索僅受拉且管保持剛性之前提；若變形過大或管有彎曲，須改用大變形或能量法。答題時建議畫出 A 點力矩圖與 B 點位移分量圖，標明 2.4θ 之來源，並註明所採用之幾何假設。
如圖所示，有一聯接器（C）用以將兩個軸（A）連接在一起，請決定需
要多少個螺栓？使得軸上的最大剪應力等於螺栓中的剪應力。假設每個
螺栓的直徑為d，且螺栓中的剪應力是均勻的（Uniform）。（20 分）
A
T
A
R
C
r
T
參考解答（AI 生成，非官方） 一、實心軸受扭矩 T，剪應力沿半徑線性分布，最大值發生於外緣：τ_shaft＝TR/J，其中極慣性矩 J＝πR⁴/2，故 τ_shaft＝2T/(πR³)。此值僅與扭矩及軸半徑有關，與軸長無關。 二、聯接器以 n 個螺栓傳遞扭矩，螺栓均布於半徑 r 之螺栓圈上，所需總切向力為 T/r，每個螺栓分擔 F＝T/(nr)。螺栓受單剪，剪面積為 πd²/4，故 τ_bolt＝F/(πd²/4)＝4T/(nπd²r)。 三、令軸之最大剪應力等於螺栓剪應力：2T/(πR³)＝4T/(nπd²r)，消去 T 與 π 後整理得 n＝2R³/(rd²)。此即所需螺栓數之表達式；由於 n 必須為整數，實務上應向上取整，並另加安全係數。 四、討論：若螺栓恰布置於軸表面（r＝R），則 n＝2R²/d²；r 增大可使所需螺栓數減少，因力臂加大、每顆螺栓分擔之剪力降低。推導假設螺栓剪應力均勻、忽略螺栓彎曲與軸孔削弱；實際設計尚須檢核孔壁擠壓應力、螺栓排列間距與疲勞強度。