民國112年 地方四等 建築工程 工程力學概要考古題

民國112年 地方四等 建築工程 工程力學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

如圖所示構件，a 點為滾支承，e 點為鉸支承。求e 點鉸支承之水平與 垂直方向的反力、a 點滾支承垂直方向反力，及梁桿件在c 點的彎矩。 （25 分） 4 m 2 m 2 m a e b c 1m1m 10 kN 8 kN

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、靜定性判別與自由體圖：a 點為滾支承（roller support），僅提供垂直於支承面之單一反力 R_a；e 點為鉸支承（pin support），提供水平反力 R_ex 與垂直反力 R_ey。未知反力共三個，平面結構恰有三個獨立平衡方程式，故本構件為靜定（statically determinate）。解題首步須繪製自由體圖（free-body diagram, FBD），標明各反力之假定方向、10 kN 與 8 kN 之外力作用點與方向，以及 4 m、2 m、2 m、1 m、1 m 各段所對應之力臂。
  • 二、支承反力之求解：取水平向右為 x 正向、垂直向上為 y 正向，列 ΣF_x＝0、ΣF_y＝0、ΣM_e＝0 三式。由 ΣF_x＝0 可得 R_ex 為所有水平外力合力之反向；對 e 點取力矩可消去 R_ex 與 R_ey，直接解得 R_a；再代回 ΣF_y＝0 求得 R_ey。若外力全為垂直載重，則 R_ex＝0，可作快速檢核。
  • 三、c 點彎矩之計算：採截面法（method of sections），假想於 c 點切斷，取受力較單純之一側為自由體，對 c 點取力矩，即 M_c＝ΣF_i×d_i，d_i 為各力作用線至 c 點之垂直距離（力臂）。彎矩正負號須先約定（一般取使梁下撓為正）；通過斷面形心之軸向力因力臂為零，對彎矩無貢獻。
  • 四、資料缺漏之說明：題幹僅列 4 m、2 m、2 m 與 1 m、1 m 等尺寸及 10 kN、8 kN 兩外力，惟未附圖，各桿件走向（水平、垂直或斜桿）、外力作用位置與方向、a 與 e 之相對關係均無法確認。幾何配置不同則力臂不同，反力與彎矩隨之改變，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
  • 五、作答與檢核建議：考生應先依原圖確認各尺寸所對應之桿段，將斜向外力分解為水平與垂直分量後再列式；求得結果後，另對 a 點取力矩，或改取另一側自由體重算 M_c 作為檢核。單位須一致，力以 kN、長度以 m 計，彎矩單位為 kN·m，並於答案中標明各反力之方向。

第2題

如圖所示梁桿件，b 點為鉸支承，c 點為滾支承。求b 點、c 點支承之垂 直方向反力，及繪製梁桿件剪力圖及彎矩圖。（25 分） 3 m a b c 4 m 6 kN / m 16 kN

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、結構型式與自由體圖：梁 a－b－c 中，b 為鉸支承、c 為滾支承，兩者皆提供垂直反力，b 點另有水平反力。因外力均為垂直向，水平反力為零，未知量僅 R_b 與 R_c，屬靜定梁。繪製自由體圖時須標出 6 kN/m 均布載重之分佈範圍與其合力位置（合力＝6×分佈長度，作用於分佈段中點）、16 kN 集中載重之作用點，以及 3 m、4 m 之跨距配置。
  • 二、支承反力之計算：列 ΣM_b＝0 可消去 R_b，得 R_c×（b 至 c 之距離）＝Σ（各外力對 b 之力矩），解出 R_c；再由 ΣF_y＝0 得 R_b＝總垂直載重－R_c，或以 ΣM_c＝0 求 R_b 後互相檢核。均布載重對 b 之力矩為（6×分佈長度）×（b 至分佈段形心之距離），集中載重為 16×力臂，力臂須依圖示位置判定。
  • 三、剪力圖（shear force diagram, SFD）繪製要領：自端點 V＝0 起繪，遇集中載重處剪力圖產生垂直跳躍（跳躍量等於該集中力），於均布載重段剪力圖為線性斜直線（斜率＝－w），支承反力處亦產生跳躍；剪力為零之截面即彎矩極值發生處。繪圖須標示各控制點數值、正負區間及零點位置。
  • 四、彎矩圖（bending moment diagram, BMD）繪製要領：彎矩圖斜率等於剪力，故無載重段為斜直線、均布載重段為二次拋物線、集中載重處形成折角；鉸支承與滾支承處彎矩為零，自由端亦為零。拋物線極值出現在 V＝0 處，其值可用面積法（彎矩變化量＝剪力圖面積）求得，並標註最大彎矩位置與數值。
  • 五、資料缺漏與作答提醒：題幹僅給 3 m、4 m、6 kN/m、16 kN，未附圖，無法確認均布載重之分佈長度與起訖、16 kN 之作用位置（位於懸臂段或跨度內）、a 端是否為自由端。任一項不同，反力與圖形均隨之改變，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生應依原圖定位後按上述步驟列式，並以整體 ΣM＝0 檢核。

第3題

如圖所示桁架結構，a 點為鉸支承，d 點為滾支承。求a 點、d 點之支承 反力，及ab 桿件、bc 桿件的軸力。（25 分） a b c d 24 kN 4 m 3 m 3 m 3 m

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、支承反力之性質：桁架（truss）a 點為鉸支承，具水平反力 A_x 與垂直反力 A_y；d 點為滾支承，僅有垂直反力 D_y，合計三個未知量，與平面平衡方程式數目相同，故為靜定桁架。分析前須確認節點均為鉸接（pin-connected）、載重僅作用於節點、桿件僅承受軸力（axial force）等基本假設。
  • 二、整體平衡求反力：取整體為自由體，由 ΣF_x＝0 得 A_x（若 24 kN 為垂直載重則 A_x＝0）；對 a 點取力矩 ΣM_a＝0，得 D_y×跨度＝24 kN×（載重作用線至 a 之水平距離），解出 D_y；再由 ΣF_y＝0 得 A_y＝24－D_y。所得反力應與載重位置之比例相符，可作合理性檢核。
  • 三、桿件軸力之求法：求 ab、bc 桿軸力可用結點法（method of joints），自主動點 a 起，取節點自由體，將未知桿力設為拉力（離開節點為正），列 ΣF_x＝0、ΣF_y＝0 求解，每節點僅能解兩個未知量。若未知量超過兩個，則改用截面法（method of sections），以截面切斷含 ab 或 bc 之三根桿件，對適切點取力矩以消去另兩桿，直接求得目標桿力。
  • 四、拉壓判定與零桿件：計算結果為正表拉力（tension）、為負表壓力（compression），答題時應同時註明大小與性質。並可利用零桿件（zero-force member）規則簡化：兩桿交於節點而無外力與支承時兩桿皆為零桿；三桿相交而其中兩桿共線時，第三桿為零桿。此可減少計算量並作為結果之交叉檢核。
  • 五、資料缺漏之說明：題幹僅給 4 m 高度、3 m、3 m、3 m 三段水平尺寸與 24 kN 載重，惟未附圖，節點 a、b、c、d 之空間位置、斜桿與水平桿之配置、24 kN 之作用節點與方向均無從確認。不同桁架型式（如華倫式 Warren truss、普拉特式 Pratt truss）之桿力分配截然不同，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生須依原圖確認幾何後再依上述步驟求解。

第4題

如下圖所示正方形斷面軸向桿件，無外力作用桿件未變形軸向長度 1500 mm L 、正方形斷面邊長 40 mm h 、材料彈性模數 250 GPa E 、 波桑比 0.25 。當桿件承受軸拉力 800 kN P ，求此時桿件軸向應力 x 、 正向應變 x 、軸向伸長量 及變形後正方形斷面的邊長。（25 分） 參考公式： 1GPa 1 kN mm P L P h h L x

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、斷面積與軸向應力：正方形斷面積 A＝h²＝40×40＝1600 mm²。軸向應力 σ_x＝P/A＝800 kN÷1600 mm²；因 1 GPa＝1 kN/mm²，可直接得 σ_x＝0.5 kN/mm²＝0.5 GPa＝500 MPa，為拉應力（正）。此為平均正向應力，適用於遠離載重作用點之中間段，符合聖維南原理（Saint-Venant's principle）。
  • 二、軸向應變與伸長量：依虎克定律（Hooke's law）σ_x＝E·ε_x，得 ε_x＝σ_x/E＝0.5/250＝0.002，即 0.2%。軸向伸長量 δ＝ε_x·L＝0.002×1500 mm＝3.0 mm。此結果亦可由 δ＝PL/(AE)＝(800×1500)/(1600×250)＝3.0 mm 直接求得，兩法可互相檢核。
  • 三、波桑效應與斷面變形：波桑比（Poisson's ratio）ν＝0.25，側向應變 ε_y＝ε_z＝－ν·ε_x＝－0.25×0.002＝－0.0005，表示橫向收縮。斷面邊長變化量 Δh＝ε_y·h＝－0.0005×40 mm＝－0.02 mm，故變形後正方形邊長 h'＝40－0.02＝39.98 mm，斷面均勻縮小但仍保持正方形。
  • 四、結果整理與限制：σ_x＝500 MPa（0.5 GPa，拉力）；ε_x＝0.002；δ＝3.0 mm（伸長）；h'＝39.98 mm。以上均建立於線彈性、均質等向、載重施加於形心軸線之假設；若材料實際降伏強度低於 500 MPa，則上述結果不再適用，須改以塑性理論處理，並注意單位換算與有效位數之標示。