首頁 / 高考三級 工業工程考古題 / 民國115年 高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制 民國115年 高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制考古題
民國115年 高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某逐次抽樣計畫已知生產者冒險率α=0.05，在此生產者冒險率下不良率
Pα=0.02；消費者冒險率β=0.1，在此消費者冒險率下不良率Pβ=0.07。
試求：
允收線與拒收線方程式。（15 分）
當樣本數n=81，拒收該批產品所需之最小累積不良品數。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、本題以 Wald 逐次機率比檢定（SPRT）建立計數型逐次抽樣計畫（sequential sampling plan）。令 p0=Pα=0.02、p1=Pβ=0.07、α=0.05、β=0.10；α 為生產者冒險率（producer's risk），β 為消費者冒險率（consumer's risk），d_n 為累積不良品數，n 為累積樣本數。 二、先計算對數參數：a=ln(p1/p0)=ln(0.07/0.02)=1.2528，b=ln((1-p1)/(1-p0))=ln(0.93/0.98)=-0.05237，分母 a-b=1.30513；斜率 s=(-b)/(a-b)=0.04012。此斜率代表每增加一個樣本，累積不良品數容許界線平均上升的數量。 三、截距方面，允收線截距 h_A=ln(β/(1-α))/(a-b)=ln(0.10/0.95)/1.30513=-1.7250；拒收線截距 h_R=ln((1-β)/α)/(a-b)=ln(0.90/0.05)/1.30513=2.2146。故允收線為 d_n=0.04012n-1.7250，拒收線為 d_n=0.04012n+2.2146。 四、當 n=81 時，拒收線值為 d_n=0.04012×81+2.2146=5.465；因累積不良品數須為整數，故 d_n 至少為 6 才會落入拒收區。此時允收線值為 1.525，d_n≤1 可允收，d_n=2 至 5 仍須繼續抽樣。 五、實務上尚須以 OC 曲線與平均抽樣數（ASN）評估計畫風險，並設定最大樣本數與截尾規則，以免長期落在繼續區。題目未給截尾值，故僅能判定 n=81 時的最小累積不良品數為 6。
某磁磚製程設計實驗採用直交表進行試驗，實驗結果如下表所示。試求：
影響S/N 比最主要的前四項控制因子。（10 分）
前四項最主要因子的最佳水準組合及其預測S/N 比。（15 分）
Exp.
A
B
C
D
E
F
G
H
S/N
44.93
50.14
49.16
46.84
41.76
57.94
50.73
46.15
52.05
40.86
46.88
41.82
42.99
52.98
46.77
45.28
40.72
46.43
Ave=46.9
參考解答（AI 生成，非官方） 一、直交表（orthogonal array）試驗以 S/N 比（signal-to-noise ratio，訊號雜音比）衡量品質，若特性為望大，則 S/N 越大越好；因子效果以各水準的 S/N 平均數表示，主要因子依水準平均數的全距（range）排序。 二、依常用 L18(2^1×3^7) 標準配置計算，各因子水準平均 S/N 約為：A1=48.86、A2=44.97；C1=45.27、C2=46.44、C3=49.03；E1=49.98、E2=46.17、E3=44.59；H1=44.48、H2=49.21、H3=47.04。全試驗平均 S/N 為 46.91。 三、各因子水準平均數的全距為：E=5.39、H=4.73、A=3.89、C=3.76、D=3.08、B=2.58、F=2.46、G=1.45。依全距由大至小，影響 S/N 最主要的前四項控制因子為 E、H、A、C；其中 E 的影響最大，G 最小。 四、就前四項因子分別選取平均 S/N 最大的水準，可得最佳組合為 E1、H2、A1、C3。以加法模式預測，預測 S/N 等於全平均加上各選定水準的效果量：46.91+(49.98-46.91)+(49.21-46.91)+(48.86-46.91)+(49.03-46.91)=56.34 dB。 五、此預測假設因子間無交互作用、其他因子維持平均水準，且試驗誤差隨機；正式結論仍應以確認實驗（confirmation run）驗證。若原試題的直交表配置或水準編號與上述不同，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，應以原表重新計算各水準平均與全距。
某精密軸承製造廠生產之軸承外徑規格為25 ± 0.05 mm，若製程平均值
為25 mm，標準差為0.025 mm，且產品尺寸服從常態分配，假設外徑高
於規格上限者須重新加工，低於規格下限者則須報廢，試求：
產品中有多少百分比應報廢？（5 分）
產品中有多少百分比可重新加工使用？（5 分）
若調整製程平均值，使報廢率趨近於0（採3σ 原則），則重新加工率
為多少？（15 分）
已知P(Z>1)=0.1587，P(Z>2)=0.0228，P(Z>3)=0.00135
參考解答（AI 生成，非官方） 一、規格為 25±0.05 mm，故規格上限 USL=25.05 mm、下限 LSL=24.95 mm。令 X 為軸承外徑，X~N(μ,σ^2)，μ=25 mm、σ=0.025 mm；標準化 Z=(X-μ)/σ。低於 LSL 者報廢，高於 USL 者重新加工。 二、報廢率為 P(X<24.95)=P(Z<(24.95-25)/0.025)=P(Z<-2)=P(Z>2)=0.0228，即約 2.28%。此為常態分配下下限尾端機率，與題目給定的 P(Z>2)=0.0228 一致。 三、重新加工率為 P(X>25.05)=P(Z>(25.05-25)/0.025)=P(Z>2)=0.0228，即約 2.28%。在製程平均值仍為 25 mm、標準差 0.025 mm 的假設下，兩尾端各占 2.28%。 四、採 3σ 原則使報廢率趨近於 0，是將製程平均值上移至 μ_new=LSL+3σ=24.95+3×0.025=25.025 mm，使下限距平均值恰為 3σ。此時報廢率為 P(Z<-3)=0.00135，約 0.135%，已接近 0。 五、平均值上移後，上限至新平均值的距離為 25.05-25.025=0.025 mm，即 1σ，故重新加工率為 P(Z>1)=0.1587，約 15.87%。此結果只調整平均值、未降低變異數；若要同時降低重工率，應再縮小 σ 或調整規格中心。
下表為一隨機集區設計實驗資料，其中A、B、C 為集區，甲、乙、丙為
處理：
集區
處理
甲
乙
丙
A
B
C
已知集區平方和SSB=21.56，總平方和SST=30.23。
試完成下列ANOVA 表。（10 分）
變異來源
SS
自由度
MS
F
集區
21.56
處理
隨機
總和
30.23
寫出檢定各處理平均數是否相同之虛無假設。（5 分）
寫出處理效果之檢定統計量，並計算其數值。（5 分）
已知F2,4,0.10=4.32，F2,4,0.05=6.94，F2,4,0.025=10.65，在顯著水準α=0.05 下，
判斷各處理平均數是否具有顯著差異。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、隨機集區設計（randomized complete block design, RCBD）的模型為 y_ij=μ+β_i+τ_j+ε_ij，i=1,2,3 為集區、j=1,2,3 為處理。變異數分析（ANOVA）的總自由度為 3×3-1=8，集區自由度為 3-1=2，處理自由度為 3-1=2，誤差自由度為 (3-1)(3-1)=4。 二、ANOVA 表的已知部分為：集區 SS=21.56、df=2、MS=10.78，集區 F 一般不檢定；總和 SS=30.23、df=8。令處理平方和為 SSA，則誤差 SSE=30.23-21.56-SSA=8.67-SSA，MSE=(8.67-SSA)/4，MSA=SSA/2。 三、題目僅給 SSB 與 SST，未給九個觀測值或處理平方和，因此無法唯一算出 SSA、SSE、MSA、MSE 與 F 值；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若補齊原表資料，應先算總平均與各處理平均，再以 SSA=3Σ(處理平均−總平均)^2 求得。 四、檢定假設為 H0：μ甲=μ乙=μ丙，或 τ甲=τ乙=τ丙=0；H1：至少有一處理平均數不同。處理效果檢定統計量為 F=MSA/MSE=(SSA/2)/[(8.67-SSA)/4]，在 H0 下服從 F(2,4)。 五、α=0.05 的拒絕域為 F>F0.05(2,4)=6.94；若算出 F>6.94，則拒絕 H0，判定各處理平均數有顯著差異，否則不拒絕。因 SSA 缺漏，本題無法完成數值判定；不可自行假設 SSA 或捏造 F 值。