民國115年 普通考試 水利工程 水文學概要考古題
民國115年 普通考試 水利工程 水文學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
請列出公式說明「絕對溼度」及「相對溼度」之意義。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、絕對溼度（absolute humidity）指單位體積空氣中所含水汽之質量，公式為 ρ_v ＝ m_v／V，單位為 g/m³ 或 kg/m³，故又稱水汽密度（vapor density）。其數值只反映單位容積內水汽之多寡，並不涉及空氣是否接近飽和。
- 二、由理想氣體定律可改寫為 ρ_v ＝ e／(R_v·T)，式中 e 為水汽分壓（Pa 或 hPa）、R_v ＝ 461.5 J/(kg·K) 為水汽氣體常數、T 為絕對溫度（K）。此式顯示在固定水汽壓下，溫度愈高則絕對溼度愈低，故單憑絕對溼度不足以判斷空氣之潮溼程度。
- 三、相對溼度（relative humidity, RH）定義為空氣中實際水汽壓 e 與同溫、同壓下飽和水汽壓 e_s 之比值，以百分率表示：RH ＝ (e／e_s)×100% ＝ (ρ_v／ρ_s)×100% ＝ (w／w_s)×100%，其中 w 為混合比（mixing ratio）。飽和水汽壓僅為溫度之函數，可用 Clausius-Clapeyron 式或 Goff-Gratch 經驗式估算。
- 四、相對溼度表示空氣距飽和之遠近，RH ＝ 100% 即達飽和、可能凝結成露或雲；RH 愈低則蒸發潛能愈大。水利工程上，蒸發皿係數、作物需水量、水庫蒸發損失、混凝土養護與壩體溫控，均以相對溼度為主要氣象參數；絕對溼度則常用於大氣擴散與水汽通量計算。
- 五、兩者關係可寫為 ρ_v ＝ RH×ρ_s(T)，即絕對溼度同時受水汽含量與溫度支配，相對溼度則隨氣溫升降而反向變化。量測上以乾溼球溫度計求得 e 與 RH，再由 ρ_v ＝ e／(R_v·T) 換算絕對溼度；惟飽和水汽壓經驗式在低溫或接近飽和時仍有誤差，應用時宜註明所採公式與適用範圍。
某一拘限（confined）含水層厚度為20 m，其水力傳導度為10 m/day，某
抽水井直徑為20 cm，定量抽水1000 m3/day 達穩定時，井內洩降為5 m，
請列出地下水水井公式，及試求其影響半徑。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、拘限含水層（confined aquifer）穩定抽水之徑向流，可採 Thiem 平衡井公式：s(r) ＝ Q／(2πT)·ln(R／r)，或改寫為 Q ＝ 2πT(H－h)／ln(R／r_w)。式中 T ＝ K·b 為導水係數（transmissivity），b 為含水層厚度，R 為影響半徑，r_w 為井半徑。
- 二、已知 b ＝ 20 m、K ＝ 10 m/day，故 T ＝ K·b ＝ 10×20 ＝ 200 m²/day；井直徑 20 cm，故井半徑 r_w ＝ 0.1 m；定量抽水 Q ＝ 1000 m³/day；井內洩降 s_w ＝ 5 m。基本假設為含水層均質等向、厚度固定、抽水已達穩定、無井損（井效率 100%）、無鄰井與邊界干扰。
- 三、以井壁 r ＝ r_w 處 s ＝ s_w 代入：s_w ＝ Q／(2πT)·ln(R／r_w)。移項得 ln(R／r_w) ＝ 2πT·s_w／Q ＝ (2π×200×5)／1000 ＝ 6.2832，故 R／r_w ＝ e^6.2832 ≒ 535.5。
- 四、影響半徑 R ＝ 535.5×0.1 m ≒ 53.6 m，即約 54 m。驗算：s(0.1) ＝ 1000／1256.6×6.2832 ≒ 5.0 m，與題設洩降相符，計算結果合理。
- 五、影響半徑係洩降趨近於零之距離，理論上隨抽水時間增長而擴大，達穩定後方為定值。實務上受含水層異質性、鄰井干扰與邊界條件影響，宜以觀測井洩降曲線外插，或與經驗式（如 Sichardt 式）交叉檢核，不宜僅憑單井資料認定。
某場5hr暴雨降雨記錄如下表，已知該暴雨所產生之地表逕流水深為7 cm，
請求此場暴雨總雨量及Φ 指數。（25 分）
時間（hr）
降雨強度（cm/hr）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、總雨量計算採累積法，由降雨強度歷線（hyetograph）求得：P ＝ Σ(i_k×Δt_k)，式中 i_k 為第 k 時段之降雨強度（cm/hr）、Δt_k 為該時段延時（hr），5 hr 內各時段乘積之和即為總雨量 P（cm）。
- 二、Φ 指數（phi index）定義為有效降雨延時內之平均損失率（含入滲、截留、窪蓄等），假設其為定值，使總雨量扣除損失後恰等於地表逕流深度：R ＝ P － Φ·t_e，故 Φ ＝ (P － R)／t_e，單位為 cm/hr。
- 三、求解步驟：(1) 由降雨記錄表計算總雨量 P；(2) 已知地表逕流深度 R ＝ 7 cm；(3) 先假設全部 5 hr 均為有效降雨，即 t_e ＝ 5 hr，得 Φ ＝ (P － 7)／5；(4) 檢核各時段降雨強度是否均大於 Φ，若有時段 i_k ＜ Φ，則該時段不產流，應予剔除並縮短 t_e 後重算。
- 四、判定規則與迭代式：Φ 必須滿足 i_k ≥ Φ 對所有有效時段成立；令 t_e ＝ ΣΔt_k（僅計 i_k ＞ Φ 之時段）、有效雨量 P_e ＝ Σ i_k·Δt_k（僅計有效時段），則 Φ ＝ (P_e － R)／t_e，反覆迭代至 Φ 與有效時段不再變動即為收斂解。
- 五、題目所附降雨記錄表內容缺漏（僅有時間與降雨強度之標題列，未列各時段數值），題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生作答時應完整列出上述公式、計算步驟與迭代判定規則，並註明待補齊各時段降雨強度後代入即可求得總雨量與 Φ 指數。
某山坡地開發案，開發前後CN 值分別為60 及90，該區域2 小時延時、
10 年回歸期距的累積降雨量為100 mm，請以SCS 法估算山坡地開發前
後有效降雨量，及因開發造成有效降雨量之變化。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、SCS 曲線數法（Soil Conservation Service curve number method）以 CN 值綜合反映土地利用、土壤分類與前期水分條件。最大滯蓄量 S ＝ 25400／CN － 254（mm），初期損失 Ia ＝ 0.2S，有效降雨量 Q ＝ (P － Ia)²／(P － Ia ＋ S)，適用於 P ＞ Ia，否則 Q ＝ 0。
- 二、開發前 CN ＝ 60：S ＝ 25400／60 － 254 ＝ 423.3 － 254 ＝ 169.3 mm；Ia ＝ 0.2×169.3 ＝ 33.9 mm；P － Ia ＝ 100 － 33.9 ＝ 66.1 mm；Q_前 ＝ 66.1²／(66.1＋169.3) ＝ 4373／235.5 ≒ 18.6 mm。
- 三、開發後 CN ＝ 90：S ＝ 25400／90 － 254 ＝ 282.2 － 254 ＝ 28.2 mm；Ia ＝ 0.2×28.2 ＝ 5.6 mm；P － Ia ＝ 100 － 5.6 ＝ 94.4 mm；Q_後 ＝ 94.4²／(94.4＋28.2) ＝ 8911／122.6 ≒ 72.6 mm。
- 四、有效降雨量變化：ΔQ ＝ 72.6 － 18.6 ＝ 54.0 mm，增加約 2.9 倍（增幅約 291%）；逕流係數由 0.186 提高至 0.726。顯示坡地開發後入滲能力下降、地表逕流大幅增加，洪峰流量與土壤沖蝕潛勢隨之升高。
- 五、限制與建議：SCS 法假設 Ia ＝ 0.2S，且不計降雨強度分布與延時效應，本例以 2 hr 累積雨量 100 mm 直接代入，屬簡化處理；CN 值亦受前期水分條件（AMC）影響，濕潤條件下應將 CN(II) 修正為 CN(III)。坡地開發宜配合滯洪池、滲透鋪面、植生覆蓋與水土保持處理，以降低 CN 值並削減逕流增量。