民國111年 地方三等 電力工程 電子學考古題
民國111年 地方三等 電力工程 電子學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
下圖電路之電流源I = 1.6 mA，電流源的輸出阻抗RSS = 30 k 。電晶體
參數：(W/L)n = 100，(W/L)p = 200， nCox = 0.3 mA/V2， pCox = 0.1 mA/V2，
VAn = VAp = 25 V。
求算差模電壓增益Ad = vO / (vG1 vG2)。（10 分）
求算共模電壓增益|Acm|。（10 分）
vG1
vG2
M1
M2
M3
M4
I
vO
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、直流偏壓：尾電流 I = 1.6 mA 由 M1、M2 均分，ID1 = ID2 = 0.8 mA，電流鏡 M3、M4 也各流 0.8 mA。由 gm = √(2μCox(W/L)ID) 得 gm1 = gm2 = √(2×0.3×100×0.8) ≈ 6.93 mA/V；PMOS 側 gm3 = gm4 = √(2×0.1×200×0.8) ≈ 5.66 mA/V。
- 二、輸出電阻：ro = VA/ID = 25 V ÷ 0.8 mA = 31.25 kΩ，N 與 P 兩側對稱，故輸出節點電阻為 ro2∥ro4 = 31.25∥31.25 ≈ 15.63 kΩ。
- 三、差模增益：差模時 M1 的汲極訊號電流經 M3、M4 鏡像複製到輸出端，與 M2 的訊號電流同向相加，輸出短路電流為 gm1·vid，故 Ad = gm1(ro2∥ro4) = 6.93×15.63 ≈ 108 V/V（約 40.7 dB）。
- 四、共模增益：共模時 M1、M2 電流相等且同相，經鏡像後在輸出節點相互抵消，理想匹配下輸出訊號電流為零，故 |Acm| ≈ 0，CMRR 理論上無窮大，此即電流鏡負載壓抑共模的機制。
- 五、實務限制：若考慮元件不匹配，或以電阻負載近似估算，|Acm| ≈ gm1(ro2∥ro4)/(1+2gm1RSS) = 108/(1+416) ≈ 0.26，CMRR 約 52 dB；RSS 越大、對稱性越好，共模排斥能力越佳。
下圖電路2R1 = 100 k ，R2 = 1 M ，R3 = R5 = 1 k 。
當R4 = R6 = 4 k ，求算差模電壓增益[vO / (vI2 vI1)]。（10 分）
當R4 = 4.2 k ，R6 = 4 k ，求算共模電壓增益。（10 分）
2R1
vO
R2
vI1
vI2
R2
R3
R4
R5
R6
vA
vB
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、架構：此為三運算放大器儀表放大器（instrumentation amplifier）。第一級由兩個非反相放大器共用增益電阻 2R1 組成，第二級為差動放大器，整體具高輸入阻抗與高 CMRR。
- 二、第一級差模增益：Ad1 = 1 + 2R2/(2R1) = 1 + (2×1 MΩ)/(100 kΩ) = 21；共模時 2R1 兩端等電位而無電流，兩輸出隨輸入同相位移，故共模增益為 1。
- 三、第二級與總增益：R4 = R6 = 4 kΩ、R3 = R5 = 1 kΩ，滿足 R4/R3 = R6/R5 = 4，故 Ad2 = 4，總差模增益 Ad = 21×4 = 84 V/V（約 38.5 dB）。
- 四、電阻不匹配：vo = −(R4/R3)vA + [R6/(R5+R6)](1+R4/R3)vB = −4.2vA + 4.16vB，故 Ad2 = (4.2+4.16)/2 = 4.18，Acm2 = 4.16 − 4.2 = −0.04。
- 五、結果與意義：第一級共模增益為 1，總共模增益 |Acm| = 0.04，CMRR = 21×4.18/0.04 ≈ 2195（約 66.8 dB）；第二級四顆電阻的匹配度直接決定共模排斥能力，實作須用精密電阻或雷射修整。
下圖電路VDD=5V，R=100k 。晶體參數：kn’(W/L)1=kp’(W/L)2=0.5mA/V2，
Vt = 0.5 V。當 VA = 50 V，求算小訊號增益Av = vD/ vG 及小訊號輸入阻抗
Rin。（20 分）
R
M1
vD
vG
M2
VDD
Rin
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、電路辨識：M1（NMOS）與 M2（PMOS）閘極相接為輸入 vG、汲極相接為輸出 vD，R 跨接 vD 與 vG 作為回授偏壓，形成 CMOS 反相放大器，Rin 為自 vG 端看入的電阻。
- 二、直流分析：兩晶體參數對稱，交換點 vG = vD = VDD/2 = 2.5 V，R 無直流電流；ID = ½kn'(W/L)(VGS−Vt)² = ½×0.5×2² = 1 mA，M1、M2 均工作在飽和區。
- 三、小訊號參數：gm1 = gm2 = 2ID/Vov = 2×1 mA/2 V = 1 mA/V，ro1 = ro2 = VA/ID = 50 kΩ；兩晶體並聯驅動輸出，等效 gm = 2 mA/V、等效 ro = 25 kΩ。
- 四、增益：Av = vD/vG = −(gm1+gm2)(ro1∥ro2) = −2×25 = −50 V/V（約 34 dB），輸出與輸入反相，增益大小由 gm 與 ro 的乘積決定。
- 五、輸入阻抗：R 構成米勒回授，Rin = R/(1−Av) = 100 kΩ/(1+50) ≈ 1.96 kΩ；因米勒倍增使輸入阻抗遠小於 R，是本電路驅動能力的主要限制。
下圖電路VDD = 10 V，RD = 5 k ，RG = 12 k ，RL = 20 k ，CC1 = CC2 =
。電晶體參數：Vt = 2 V，kn’(W/L) = 0.2 mA/V2，VA = 50 V。
忽略通道調變效應，計算電晶體直流電流ID。（8 分）
計算小訊號輸入阻抗Rin。（12 分）
vo
vi
CC1
RG
RD
CC2
RL
VDD
Rin
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、直流分析：RG 接於閘極與汲極之間形成回授偏壓，閘極電流為零故 VG = VD；又 ID = (VDD − VD)/RD，且 ID = ½kn'(W/L)(VG − Vt)²。
- 二、求解：以 mA、kΩ 計算，ID = 0.1(VG−2)² 且 VG = 10 − 5ID，代入整理得 2.5ID² − 9ID + 6.4 = 0，取合理解 ID ≈ 0.975 mA，VG = VD ≈ 5.12 V。
- 三、飽和驗證：VDS = 5.12 V 大於 VGS − Vt = 3.12 V，確實工作在飽和區；另一根 ID = 2.62 mA 會使 VDS 小於過驅電壓，不合物理條件故捨去。
- 四、小訊號增益：gm = 2ID/Vov = 2×0.975/3.12 ≈ 0.62 mA/V，ro = VA/ID = 50/0.975 ≈ 51.3 kΩ，Av = −gm(RD∥RL∥ro) = −0.62×(5∥20∥51.3) ≈ −2.32；若完全忽略通道調變，則 Av ≈ −2.5。
- 五、輸入阻抗：Rin = RG/(1+|Av|) = 12 kΩ/(1+2.32) ≈ 3.6 kΩ（忽略 ro 時約 3.4 kΩ）；米勒效應把回授電阻等效縮小，是此偏壓方式輸入阻抗偏低的原因。
下圖電路R1 = 100 k ，R2 = R = 1 M ，C = 10 nF，運算放大器的飽和輸
出電壓為 10 V，求算vO 頻率。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、電路架構：此為運算放大器無穩態多諧振盪器（astable multivibrator），R1、R2 構成正回授分壓器（施密特觸發器），R、C 構成負回授積分電路，輸出在 ±Vsat = ±10 V 之間往復切換。
- 二、門檻電壓：正端電壓 v+ = βvO，β = R2/(R1+R2) = 1 MΩ/1.1 MΩ ≈ 0.909，故上、下門檻分別為 +9.09 V 與 −9.09 V，遲滯寬度約 18.2 V。
- 三、充放電時間：每半週期電容由 −βVsat 指數充至 +βVsat，T/2 = RC·ln[(1+β)/(1−β)] = 1 MΩ×10 nF×ln(21) ≈ 10 ms×3.045 ≈ 30.5 ms。
- 四、振盪頻率：T = 2×30.5 ms ≈ 60.9 ms，故 f = 1/T ≈ 16.4 Hz；頻率僅由 R、C 與 β 決定，與飽和電壓大小無關，改變 R 或 C 即可調整。
- 五、提醒：若圖中 R1、R2 位置對調（β = R1/(R1+R2) = 1/11），則 T/2 = RC·ln(1.2) ≈ 1.82 ms，f ≈ 274 Hz；β 須依實際接法判定，切勿死背公式而誤植。