民國111年 地方三等 電子工程 電子學考古題

民國111年 地方三等 電子工程 電子學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

下圖電路之電流源I = 1.6 mA，電流源的輸出阻抗RSS = 30 k 。電晶體 參數：(W/L)n = 100，(W/L)p = 200， nCox = 0.3 mA/V2， pCox = 0.1 mA/V2， VAn = VAp = 25 V。 求算差模電壓增益Ad = vO / (vG1 vG2)。（10 分） 求算共模電壓增益|Acm|。（10 分） vG1 vG2 M1 M2 M3 M4 I vO

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、電路架構與直流分析：M1、M2 為 NMOS 差動對，M3、M4 為 PMOS 電流鏡主動負載，尾端由 I = 1.6 mA、輸出阻抗 RSS = 30 kΩ 的電流源提供偏壓。電路完全對稱，故每一支路的直流電流 ID = I/2 = 0.8 mA，這是求 gm 與 ro 的起點；若忽略此對稱假設，後續增益將無法計算。
  • 二、小訊號參數：由 ID = 0.5 μnCox(W/L)(VGS − Vt)² 可得 gm1 = √(2μnCox(W/L)n·ID) = √(2×0.3×100×0.8) = √48 ≈ 6.93 mA/V。輸出電阻 ro = VA/ID = 25 V / 0.8 mA = 31.25 kΩ，NMOS 與 PMOS 數值相同。輸出節點電阻 Rout = ro2∥ro4 = 15.63 kΩ。
  • 三、差模增益：Ad = vO/(vG1 − vG2) = gm1(ro2∥ro4) = 6.93 mA/V × 15.63 kΩ ≈ 108 V/V，約 40.7 dB。其物理意義為差模輸入使兩支路電流各變動 ±gm·vid/2，經電流鏡折疊後在輸出節點合成 gm·vid，再乘上輸出電阻，故單端輸出仍可得到接近雙端輸出的增益。
  • 四、共模增益：Acm = −gm1(ro2∥ro4)/(1 + 2gm1RSS) = −108/(1 + 2×6.93m×30k) = −108/416.7 ≈ −0.26，故 |Acm| ≈ 0.26。分母中的 1 + 2gmRSS 反映尾電流源並非理想，共模電流在 RSS 上產生壓降，使 vgs 縮小，因而把共模訊號部分轉為差模成分。
  • 五、CMRR = |Ad/Acm| ≈ 417，約 52.4 dB。若 M3、M4 為完全匹配的電流鏡，理想上共模電流會互相抵消而使 Acm 趨近於零；實際值由元件不匹配與 ro 誤差決定。因此上述數值屬於一階估計，答題時宜明確寫出所採用之負載模型與對稱假設。

第2題

下圖電路2R1 = 100 k ，R2 = 1 M ，R3 = R5 = 1 k 。 當R4 = R6 = 4 k ，求算差模電壓增益[vO / (vI2 vI1)]。（10 分） 當R4 = 4.2 k ，R6 = 4 k ，求算共模電壓增益。（10 分） 2R1 vO R2 vI1 vI2 R2 R3 R4 R5 R6 vA vB

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、電路辨識：本題為三顆運算放大器構成的儀表放大器（instrumentation amplifier, IA）。第一級由兩個非反相放大器共用增益電阻 2R1 組成，提供極高輸入阻抗；第二級為差動放大器，負責將雙端訊號轉為單端輸出，並抑制共模雜訊。
  • 二、第一級分析：因虛短路，兩個反相端節點電壓分別等於 vI1、vI2，流經 2R1 的電流為 (vI1 − vI2)/2R1，故 vA = vI1 + (R2/2R1)(vI1 − vI2) = 11vI1 − 10vI2，vB = 11vI2 − 10vI1。其中 R2/2R1 = 1 MΩ/100 kΩ = 10，第一級差模增益為 1 + 2R2/2R1 = 21。
  • 三、R4 = R6 = 4 kΩ 時：第二級為平衡差動放大器，增益為 R4/R3 = 4/1 = 4，故 vO = 4(vB − vA) = 4×21(vI2 − vI1) = 84(vI2 − vI1)，即 Ad = vO/(vI2 − vI1) = 84，約 38.5 dB。整體增益亦可看成第一級 21 倍與第二級 4 倍之乘積。
  • 四、R4 = 4.2 kΩ、R6 = 4 kΩ 時：電阻不平衡，以重疊定理得 vO = [R6/(R5+R6)](1 + R4/R3)vB − (R4/R3)vA = (4/5)(5.2)vB − 4.2vA = 4.16vB − 4.2vA。代入 vA、vB 後整理得 vO = 87.76vI2 − 87.8vI1，差模增益約 87.78。
  • 五、共模增益：令 vI1 = vI2 = vcm，得 vO = (87.76 − 87.8)vcm = −0.04vcm，故 Acm ≈ −0.04，|Acm| ≈ 0.04；CMRR = 87.78/0.04 ≈ 2194，約 66.8 dB。誤差來源為 R4/R3 ≠ R6/R5，實務上須以精密電阻陣列或雷射修整維持匹配，否則 CMRR 會明顯劣化。

第3題

下圖電路VDD=5V，R=100k 。晶體參數：kn’(W/L)1=kp’(W/L)2=0.5mA/V2， Vt = 0.5 V。當 VA = 50 V，求算小訊號增益Av = vD/ vG 及小訊號輸入阻抗 Rin。（20 分） R M1 vD vG M2 VDD Rin

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、電路架構：M1（NMOS）與 M2（PMOS）之閘極相接為 vG、汲極相接為 vD，構成 CMOS 反相器；依圖示 R = 100 kΩ 跨接於 vD 與 vG 之間，作為回授偏壓電阻，使電路自我偏壓於轉態點並當作放大器使用。此種接法又稱自偏式 CMOS 反相器放大器。
  • 二、直流分析：閘極電流為零，R 無直流壓降，故 VG = VD；又 kn′(W/L)1 = kp′(W/L)2 且 |Vt| 相同，電路對稱，轉態點落在 VG = VD = VDD/2 = 2.5 V。此時 VGS1 = 2.5 V、VSG2 = 2.5 V，兩者過驅動電壓均為 2 V。
  • 三、電流與參數：ID = 0.5×0.5 mA/V²×(2 V)² = 1 mA。檢查飽和：VDS1 = 2.5 V > Vov = 2 V，VSD2 亦同，假設成立。gm1 = gm2 = kn′(W/L)Vov = 0.5×2 = 1 mA/V；ro1 = ro2 = VA/ID = 50 V/1 mA = 50 kΩ。
  • 四、小訊號增益：輸出節點之負載為 ro1∥ro2∥R = 50k∥50k∥100k = 20 kΩ，故 Av = vD/vG = −gm(ro1∥ro2∥R) = −1 mA/V×20 kΩ = −20，約 26 dB。若忽略 R 之負載效應則得 −25，答題時應說明是否將 R 納入小訊號模型。
  • 五、輸入阻抗：R 接於輸入與輸出之間，形成米勒效應（Miller effect），Rin = R/(1 − Av) = 100 kΩ/(1+20) ≈ 4.76 kΩ。此即米勒電阻，說明此種回授偏壓雖節省元件，卻使輸入阻抗下降；必要時可於前級加緩衝器，或改採電流源偏壓以改善。

第4題

下圖電路VDD = 10 V，RD = 5 k ，RG = 12 k ，RL = 20 k ，CC1 = CC2 = 。電晶體參數：Vt = 2 V，kn’(W/L) = 0.2 mA/V2，VA = 50 V。 忽略通道調變效應，計算電晶體直流電流ID。（8 分） 計算小訊號輸入阻抗Rin。（12 分） vo vi CC1 RG RD CC2 RL VDD Rin

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、電路架構：RD 接於 VDD 與汲極之間，RG = 12 kΩ 跨接於汲極與閘極之間提供直流回授偏壓，vi 經 CC1 耦合至閘極，vo 由汲極經 CC2 送至 RL，源極接地，屬共源極（common-source）放大器。CC1、CC2 視為交流短路、直流開路。
  • 二、直流分析：閘極電流為零，RG 無直流壓降，故 VG = VD，且 VGS = VG − 0 = VD。由汲極支路 ID = (VDD − VD)/RD = (10 − VD)/5k；假設飽和區，ID = 0.5kn′(W/L)(VGS − Vt)² = 0.1(VD − 2)² mA，其中 VD 以伏特代入。
  • 三、求解與檢查：令兩式相等得 0.1(VD − 2)² = (10 − VD)/5，展開為 VD² − 2VD − 16 = 0，解得 VD = 1 + √17 ≈ 5.12 V，故 ID ≈ (10 − 5.12)/5 ≈ 0.975 mA。檢查 VDS = 5.12 V > Vov = 3.12 V，飽和假設正確；若解得 VDS < Vov，則須改以三極區公式重算。
  • 四、小訊號參數與增益：gm = 2ID/Vov = 2×0.975/3.12 ≈ 0.625 mA/V，ro = VA/ID = 50/0.975 ≈ 51.3 kΩ。交流負載為 RD∥RL∥ro = 5k∥20k∥51.3k ≈ 3.71 kΩ，故 Av = −gm(RD∥RL∥ro) ≈ −2.32。
  • 五、輸入阻抗：RG 跨接輸入與輸出，形成米勒回授，Rin = RG/(1 − Av) = 12 kΩ/(1+2.32) ≈ 3.62 kΩ。若題意要求完全忽略通道調變（ro → ∞），則 Av ≈ −2.50、Rin ≈ 3.43 kΩ。答題時應明列所採假設與負載定義，以免與命題者設定不同。

第5題

下圖電路R1 = 100 k ，R2 = R = 1 M ，C = 10 nF，運算放大器的飽和輸 出電壓為 10 V，求算vO 頻率。（20 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、電路辨識：此為運算放大器構成的無穩態多諧振盪器（astable multivibrator），亦即弛張振盪器（relaxation oscillator）。R1、R2 構成正回授分壓網路接至同相端，R、C 構成負回授計時網路接至反相端，電路無外加觸發即可持續振盪。
  • 二、正回授門檻：輸出飽和於 ±Vsat = ±10 V，同相端門檻為 ±βVsat，其中 β = R1/(R1 + R2) = 100k/1.1M ≈ 0.0909，故門檻約 ±0.909 V。此門檻即電容電壓 vC 的上下限，決定每次翻轉的起始與終止準位。
  • 三、計時過程：設 vO = +10 V，C 經 R 充電，vC 由 −βVsat 朝 +10 V 上升，到達 +βVsat 時同相端與反相端電壓交叉，輸出翻轉為 −10 V；隨後 C 放電至 −βVsat 再翻轉。單邊時間為 t = RC ln[(1+β)/(1−β)]。
  • 五、討論：振盪頻率僅由 R、C 與 β 決定，與輸出飽和準位無關；但若 β 過小、R 過大，或運算放大器之迴轉率（slew rate）與輸入偏壓電流不可忽略，實際頻率將偏低。實作時常以可變電阻微調，並在正回授端加稽納二極體以穩定振幅。