民國111年 地方三等 電子工程 工程數學考古題與答案

第1題

z2+4，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題：考慮如下所示的曲線：C1：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為3 的圓），從z=3+0⋅i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC1=？（5 分）考慮如下所示的曲線：C2：|z −i|=2（即以0+1⋅i為中心、半徑為2 的圓），從z=0+( 1) i A. （i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC2=？（5 分）乙、測驗題部分：（50分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。共20題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。1我們準備對1, 1,3 A. （）以及2,0, 4 A. （）這兩個向量做外積（cross product ）。如果將答案寫成1, 1,32,0, 4a,b,c A. （）（）（），那麼ab c=？3080100150

參考解答

• 答案：B. （）以及2,0, 4

解析：兩向量外積可用行列式展開：第一分量為 1·(−4)−3·0=−4，第二分量為 3·2−1·(−4)=10，第三分量為 1·0−1·2=−2，故 (a,b,c)=(−4,10,−2)。再將三個分量相乘，(−4)×10×(−2)=80。計算時要注意外積第二分量的符號（中間項取負），以及分量相乘時負負得正，這兩個地方最容易出錯而得到 30、100 或 150 等錯誤數值。

第2題

考慮一線性方程組Axb，A 為m n矩陣，mn。下列敘述何者錯誤？ B. 該方程組可能無解 C. 該方程組可能只有一解 D. 該方程組不可能有無窮多解矩陣A 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros） A. （）這兩個向量之夾角，那麼2sin ？請選出最接近的數值：

參考解答

• 答案：C. 該方程組不可能有無窮多解矩陣A 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）

第3題

如果用來代表1,3,2（）與0, 1,4 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.50.3 A. （）以及3,1,（）這三個向量無法構成3 ( , , ) | , ,x y zx y z的基底（basis）。那麼，α= ？

參考解答

• 答案：A. 0.9

解析：此題為向量夾角計算。向量 u=(1,3,2)，v=(0,1,4)。內積 u·v = 1×0+3×1+2×4 = 11。模長 |u|=√(1²+3²+2²)=√14，|v|=√(0²+1²+4²)=√17。餘弦值 cosφ = (u·v)/(|u||v|) = 11/√(14×17) = 11/√238 ≈ 11/15.427 ≈ 0.713。正弦值 sinφ = √(1-cos²φ) = √(1-0.508) = √0.492 ≈ 0.701。最接近選項 A 的 0.7。

第5題

考慮如下所示之矩陣：13A21 A. 。下列敘述何者正確？ B. A 為可逆（invertible）的矩陣 C. A 為既約列梯形（reduced row echelon form）的矩陣 D. A 為單位矩陣（identity matrix）A 為對稱（symmetric）的矩陣

參考解答

• 答案：A. 。下列敘述何者正確？

第6題

如下所示之選項中，何者為矩陣231121132 A.  A.  A. 的特徵向量（characteristic vector，亦稱eigenvector）？（選項中的符號T…代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測） B. 011T101T0 01T101T

參考解答

• 答案：D. 011T101T0 01T101T

第7題

考慮一馬可夫過程（Markov process ）：0.80.3(1)( )0.20.7x kx k，其狀態向量x 之初值(0)1000Tx。請問lim ( )xx k為何？ B. 8020T C. 3070T D. 6040T5050T B. ez

參考解答

• 答案：C. 6040T5050T

第9題

考慮如下所示之複變函數：23326i752if(z)1 2z(5i) zzzzz A.  A. （i =1 A. ）。如果我們將該函數在z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成a + b i的形式，那麼a + b ？ B. 2032π

參考解答

• 答案：C. ）。如果我們將該函數在z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成a + b i的形式，那麼a + b ？

第11題

令222( )()Csszdssz A.  A. g，其中路徑積分之路徑C 為以2, 2i為頂點之正方形的邊界，行經方向為正。請問(1)g之值為何？ B. 2 i C. 104 i

參考解答

• 答案：A. 

第12題

有一個雙變數函數2f(x, y)xsin(x y)。請問f(x, y) 在1,（）的梯度（gradient）為何？ B. 1,（） C. ,1（） D. , 1 A. （）1,（）

參考解答

• 答案：C. , 1

第13題

考慮微分方程式：( )( )( )sin,0y ty ty tt t，其中y與y分別代表y 對變數t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？ B. 對於某些(0), (0)yy（）初值，方程式的解會收斂到零 C. 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解是一個頻率為之週期函數 D. 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率產生變化對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數34770 A. 。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結）

參考解答

• 答案：D. 。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結）

解析：方程式 y''+y'+y=sin(ωt) 屬有阻尼受迫振動。齊次部分特徵方程 r²+r+1=0 的根實部為 −1/2<0，故齊次解隨 t 增大而衰減；不論初值為何，長期行為由正弦強迫項主導，解會收斂到角頻率 ω 的穩態週期函數，故選 D。解不會趨於零（B 錯），暫態部分也不是週期函數（C 錯）。

第15題

下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation）0( ):( )steL ff tdt A. 之敘述，何者錯誤？ B. ()( )( )L fgL fL g C. 111()( )( )LfgLfLg A. ，其中1L為L 之逆轉換()( ) ( )L fgL f L g()( )L fs L f，其中f 為f 之導函數，且(0) = 0f

參考解答

• 答案：C. 111()( )( )LfgLfLg

解析：拉氏轉換為線性運算，L{f+g}=L{f}+L{g}，逆轉換亦具線性，故A、B敘述正確。導函數性質為L{f'}=sL{f}−f(0)，當f(0)=0時化為sL{f}，D正確。C的錯誤在於：L{f·g}不等於L{f}·L{g}；正確關係是卷積定理，即L{f*g}=L{f}·L{g}，兩函數相乘的拉氏轉換須透過卷積計算，不能將個別轉換結果直接相乘。

第17題

考慮一隨機變數x，其機率密度分布函數具有下列形式：( ) =1,1f xxx A. ，且( ) = 0,1f xx 。請問x 之變異數（variance）為何？ B. 1/6 C. 2/ 3 D. 1/ 62 / 3

參考解答

• 答案：C. 2/ 3

第18題

有兩個連續的隨機變數X 與Y，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：2,if 0 <<1and 0 <<1f( , )0,otherwiseXYA x yxyx y其中A 為常數。請問隨機變數X 的期望值（expectation）為下列何者？ B. 12 C. 23 D. 3445 B. 0.1

參考解答

• 答案：B. 23

第19題

假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為0.4，出現反面的機率為0.6。如果我們丟擲這個銅板5 次，結果出現正面比出現反面還更多次的機率為何？（請在下列選項中選出最接近答案的數值。） C. 0.2 D. 0.30.4 B. 0 C. i

參考解答

• 答案：C. 0