民國115年 普通考試 水利工程 流體力學概要考古題
民國115年 普通考試 水利工程 流體力學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
於標準大氣壓力下，93℃的空氣於圓管中的質量流率為0.037 Kg/s。說
明以下流況所需要的條件：（每小題10 分，共20 分）
能夠在管內形成層流（laminar flow）之雷諾數（Reynolds number）的
最大值？並說明與雷諾數相關之物理量；
管內要能夠形成層流，所需要圓管的最小直徑？
提示：93℃的空氣的黏滯係數值μ=2.15×10-5 Ns/m2，並為理想氣體，空
氣的理想氣體常數為286.9 J/Kg/K。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、管流雷諾數定義為 Re=ρVD/μ=VD/ν，其中ρ為密度、V為平均流速、D為管徑、μ為動力黏滯係數、ν=μ/ρ為運動黏滯係數，其物理意義為慣性力與黏滯力之比值。圓管層流之臨界雷諾數通常取 Re_cr≈2000，部分教材取2300；因此層流之最大雷諾數可答約2000，超過此值即進入過渡區或紊流。
- 二、與雷諾數相關之物理量包括密度、平均流速、管徑及黏滯係數；Re與ρ、V、D成正比，與μ成反比。若質量流率ṁ固定，由ṁ=ρV(πD²/4)可得 Re=4ṁ/(πDμ)，此時Re僅與ṁ、D、μ有關，而與密度和速度之個別乘積無關。
- 三、空氣視為理想氣體，T=93+273.15=366.15 K，標準大氣壓力p=101.325 kPa，ρ=p/(RT)=101325/(286.9×366.15)≈0.965 kg/m³。由Re=4ṁ/(πDμ)可知，欲維持Re≤2000，所需最小管徑為D_min=4ṁ/(πμRe_cr)。
- 四、代入ṁ=0.037 kg/s、μ=2.15×10⁻⁵ N·s/m²、Re_cr=2000，得D_min=4×0.037/(π×2.15×10⁻⁵×2000)≈1.096 m；若採Re_cr=2300，則D_min≈0.953 m。故最小直徑約1.10 m（採2000）或0.95 m（採2300）。
- 五、臨界雷諾數並非固定常數，會受入口擾動、管壁粗糙度、振動及雷諾數定義方式影響；工程設計宜採較保守之2000，並避免長時間落在2000至4000之過渡區。氣溫改變時μ與ρ亦會變化，最小管徑須重新計算。
水通過一個管末為噴嘴（nozzle）形式的管流系統，如圖一所示。計算需
要施於此系統的水平與垂直方向作用力大小與方向，才可以平衡水流通
過管內與噴出噴嘴時產生的動量。（20 分）
圖中A1=1.5 m2，A2=0.3 m2，V1=30 m/s，p2=patm，p1=patm+30 kPa。忽略
水與管線的重量；patm 表示大氣壓力。
圖一
45°
A2，p2=patm
patm
p1
Fy
Fx
y
x
V1
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、取管內水體為控制體積，假設定常、不可壓縮、忽略摩擦與水重，水密度ρ=1000 kg/m³。由連續性A1V1=A2V2，V2=V1A1/A2=30×1.5/0.3=150 m/s；質量流率ṁ=ρA1V1=1000×1.5×30=45000 kg/s。
- 二、設進口流速沿+x方向，出口噴流與+x成45°向上；若圖示出口向下，則Fy方向相反。動量方程式為ΣF=ṁ(V_out−V_in)。以錶壓計算，進口p1g=30 kPa，壓力力為p1gA1=30000×1.5=45 kN；出口p2=patm，錶壓為零，故無出口壓力力。
- 三、動量通量：進口x分量=ṁV1=45000×30=1.350 MN；出口x分量=ṁV2cos45°=45000×150×0.7071≈4.773 MN；出口y分量=ṁV2sin45°≈4.773 MN。設管壁對水之作用力為R_x、R_y，則R_x+0.045=4.773−1.350，得R_x≈3.378 MN；R_y≈4.773 MN。
- 四、管壁對水之作用力為向右約3.38 MN、向上約4.77 MN；水對管壁之作用力則向左約3.38 MN、向下約4.77 MN。欲固定此系統，外部支承須施向右約3.38 MN、向上約4.77 MN之反力，方可平衡水流通過管內與噴出時之動量變化。
- 五、討論：題給p1、V1、A1、A2與白努利方程式並不完全一致。依連續性V2=150 m/s，但白努利所需壓差約ρ(V2²−V1²)/2≈10.8 MPa，遠大於30 kPa；嚴格而言題目資料缺漏且彼此不一致，無法得出同時滿足連續、動量與能量方程式之唯一數值。本解係以連續性及動量方程式為主，並採用題給壓力。
魚雷在海水中所受的拖曳力特徵需要在水道中先進行模擬試驗，今使用
1：6 的模型實驗測試，水道使用20℃淡水，其運動黏滯係數（Kinematic
viscosity）為1.004×10-6 m2/s，而魚雷實際會使用於15.6℃的海水，其運
動黏滯係數為1.17×10-6 m2/s，如要正確的模擬魚雷在海水中行進速率為
40 m/s，則其在水道中需要的行進速率為何？（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、魚雷完全浸沒於水中，主要相似條件為黏滯阻力，故採雷諾相似（Reynolds similarity），使模型與原型之雷諾數相等：Re_m=Re_p，即V_mL_m/ν_m=V_pL_p/ν_p。
- 二、模型縮尺為1：6，故L_m/L_p=1/6；已知原型海水ν_p=1.17×10⁻⁶ m²/s、V_p=40 m/s，模型淡水ν_m=1.004×10⁻⁶ m²/s。由相似條件可得V_m=V_p(L_p/L_m)(ν_m/ν_p)。
- 三、代入計算：V_m=40×6×(1.004×10⁻⁶/1.17×10⁻⁶)=240×0.8581≈205.9 m/s。故水道中模型所需行進速率約為206 m/s。
- 四、此結果表示模型速度遠高於原型，實驗時須注意空化、水溫控制、水道功率及模型結構負荷；若設備無法達到，可考慮增壓水洞或放寬相似律，但須以部分相似及修正係數處理。
- 五、若題目另要求自由液面或興波相似，則應採福祿數（Froude number）相似，V_m=V_p/√6≈16.3 m/s；但魚雷為潛體，本題應以雷諾相似為主，故答案取約206 m/s。
一條寬4 m 的方形渠道，流量及正常水深分別為6 m3/s 與0.4 m，該渠
道下游坐落一個水壩，其壩體高度為0.25 m，解釋說明該流量在壩體前
是否會發生水躍（hydraulic jump）現象。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、矩形渠道單寬流量q=Q/b=6/4=1.5 m²/s，正常水深y1=0.4 m，平均流速V1=q/y1=3.75 m/s。福祿數Fr1=V1/√(gy1)=3.75/√(9.81×0.4)≈1.89>1，故上游正常流為超臨界流。
- 二、超臨界流遇下游壩體可能產生水躍，先求共軛水深y2：y2=(y1/2)[√(1+8Fr1²)−1]=(0.4/2)[√(1+8×1.89²)−1]≈0.89 m。此值表示若水躍完全發展，躍後水深約0.89 m。
- 三、再以比能判準：E1=y1+q²/(2gy1²)=0.4+1.5²/(2×9.81×0.4²)≈1.117 m；臨界水深y_c=(q²/g)^(1/3)≈0.612 m，最小比能E_min=1.5y_c≈0.918 m。
- 四、水流越過壩頂所需之上游比能至少為壩高加上壩頂最小比能：E_req=0.25+0.918≈1.168 m。因E1≈1.117 m<E_req，現有流量無法在不壅塞之情況下越壩，渠道會產生壅塞（choking），上游水位被迫抬升，故壩前會發生水躍或形成水躍後之亞臨界回水。
- 五、另一判準：不壅塞所能容許之最大壩高約E1−E_min≈0.199 m，今壩高0.25 m已超過此值，支持會發生水躍之結論。實際水躍位置受下游尾水影響；若尾水不足，水躍可能被推近壩體或呈淹沒水躍，但壩前流況已由超臨界轉為亞臨界。
水穩定的從一個大型容器流出，並由一個垂直向且固定直徑的圓管噴流
出去，如圖二所示。容器內的空氣壓力p 為120 kPa，h1=4 m，h2=1.5 m。
假設水為無黏流與不可壓縮流體。回答下列問題：
圓管中的水噴射的高度h。（5 分）
圓管內水流速度。（5 分）
水平方向圓管內的水壓。（10 分）
圖二
p
h2
Air
Water
h
h1
Pipe
exit
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、取水平管中心線為基準z=0，水槽水面z=h1=4 m，垂直管出口z=h2=1.5 m，出口以上噴流高度為h。假設定常、無黏、不可壓縮，γ=ρg≈9.81 kN/m³；題目未註明p為錶壓，以下先採絕對壓力p=120 kPa，並取patm≈101.3 kPa。
- 二、由水面至噴流最高點（p=patm、V≈0）寫白努利方程式：(p−patm)/γ+h1=h2+h，故h=(120−101.3)/9.81+4−1.5≈4.40 m。若題意之p為錶壓，則h=120/9.81+4−1.5≈14.73 m，考生應先說明採用之壓力基準。
- 三、圓管為固定直徑，管內流速等於出口流速；對出口與噴流最高點而言，V=√(2gh)=√(2×9.81×4.40)≈9.3 m/s。若採錶壓，則V=√(2×9.81×14.73)≈17.0 m/s。
- 四、水平管內壓力：由水平管至出口寫白努利方程式，p_p/γ+z_p+V²/(2g)=patm/γ+z_e+V²/(2g)，因管徑固定、V相同，故p_p−patm=γ(z_e−z_p)=γh2=9.81×1.5≈14.7 kPa。即水平管內錶壓約14.7 kPa，絕對壓力約116.0 kPa。
- 五、討論：若考慮管內摩擦損失，噴流高度與速度會略低，水平管壓力亦會因損失而改變；若出口高度或h2之定義與上述不同，應以實際標高差重新代入。本題之壓力結果與大氣壓力基準無關，但h與V則須先確認p為絕對或錶壓；若未假設壓力基準，嚴格而言h與V無法得出唯一數值。